Автореферат

квалификационной работы магистра

Алгоритмы и инструментальные средства поиска
дактилоскопических образов в информационной базе данных

Актуальность развития биометрических технологий идентификации личности обусловлена увеличением числа объектов и потоков информации, которые необходимо защищать от несанкционированного доступа, а именно: криминалистика; системы контроля доступа; системы идентификации личности; системы электронной коммерции; информационная безопасность (доступ в сеть, вход на ПК); учет рабочего времени и регистрация посетителей; системы голосования; проведение электронных платежей; аутентификация на Web-ресурсах; различные социальные проекты, где требуется идентификация людей; проекты гражданской идентификации (пересечение государственных границ, выдача виз на посещение страны) и т.д.

В связи с этим в каждой разработанной биометрической системе возникает задача хранения и обработки большого объема биометрических данных и информации об их владельцах. Для решения этой задачи используют различные системы управления базами данных (СУБД). Наиболее эффективным является использование специализированной СУБД. Но в связи со сложностью и дороговизной разработки, до сих пор таких СУБД на всеобщий рынок выпущено не было.

Поэтому прибегают к одному из нескольких подходов к решению этой задачи. Первый подход – использовать обычную реляционную СУБД для хранения данных, а для обработки данных разработать клиентское приложение. Этот способ является наименее эффективным, т.к. между сервером (СУБД) и клиентом (приложением) возникает большой поток передачи информации, который приводит к лишним временным затратам и нагрузкам. Второй подход избегает появления этих проблем за счет обработки данных в самой СУБД, а клиентское приложение лишь посылает исходные данные и забирает готовый результат. Но второй подход требует от СУБД возможностей определения собственного типа данных и присоединения программной библиотеки, разработанной для эффективной работы с этим типом данных. С этой задачей справляются уже далеко не все СУБД, а те которые справляются, в большинстве своем, являются дорогостоящими.

СУБД PostgreSQL [1] полностью подходит для второго способа решения задачи хранения и обработки биометрических данных, при этом является бесплатным программным продуктом с открытым исходным кодом. Поэтому подсистема поиска дактилоскопических образов будет построена на примере этой СУБД.

Актуальность разработки подсистемы поиска дактилоскопических образов заключается в следующем: актуальность самой разработки биометрических систем, обусловленной их широким применением; применение новых и эффективных средств для ускорения поиска информации в базе данных, и, следовательно, повышение скорости работы всей биометрической системы в целом; использование бесплатной СУБД – дешевизна разработки.

Квалификационная работа магистра выполнялась на протяжении 2008-2009 гг. в соответствии с научными направлениями кафедры «Автоматизированные системы управления» Донецкого национального технического университета.

Целью разработки подсистемы поиска дактилоскопических образов является повышение скорости поиска отпечатка пальца в базе данных за счет уменьшения размера выборки записей, удовлетворяющих условиям поиска.

Достижение данной цели предполагается осуществить, за счет решения следующих задач:
– анализ методов представления записи об отпечатке пальца;
– анализ методов индексирования записи об отпечатке пальца;
– программная реализация найденных методов или их комбинаций;
– выявление на основе тестовой выборки наиболее эффективных методов или их комбинаций.

Новизна магистерской работы заключается в следующем: повышение быстродействия поиска в системе при соблюдении оптимальной точности и надежности системы за счет выявления и использования наиболее точных методов индексирования и хранения для осуществления быстрого и корректного поиска.

Практическая значимость исследования определяется тем обстоятельством, что подсистема поиска дактилоскопических образов представляет интерес для правоохранительных органов а также предприятий, разрабатывающих охранные системы или системы контроля и учета доступа.

Деятельность частных фирм, правительственных организаций и лабораторий, занимающихся вопросами биометрии, координируется Биометрическим Консорциумом BioAPI Consortium [2]. Ведущими производителями биометрических систем являются: BioLink Technologies [3], Bioscrypt [4], Precise Biometrics [5], Neurotechnology [6], DigitalPersona [7], Identix [8] и др.
Соответственно на рынок выходит все больше продуктов использующих биометрические технологии, начиная с USB-накопителей со сканером отпечатков пальцев и заканчивая корпоративными системами учета рабочего времени и контроля доступа.
Примерами таких систем могут служить автоматизированная дактилоскопическая идентификационная система по следам и отпечаткам пальцев и ладоней АДИС Папилон [9] (Россия), система учета рабочего времени и контроля доступа по отпечаткам пальцев BioTime [10] (Россия), Next Generation Identification (NGI) [11] разрабатываемая ФБР глобальная система идентификации.

Все эти системы работают на достаточно хорошем уровне, но главным их недостатком, как уже говорилось ранее, является то, что они построены не на специализированной для биометрических задач СУБД [12].
Рассмотрим на основе каких СУБД работают указанные выше системы, и какими достоинствами и недостатками эти СУБД обладают.

АДИС Папилон обеспечивает создание, хранение и функционирование электронной базы данных дактилокарт и следов и автоматизацию процесса дактилоскопической идентификации для решения обширного круга задач:
— установление личности по отпечаткам и следам пальцев рук, в том числе путем проведения оперативных проверок по оттиску пальца в режиме реального времени;
— идентификация неопознанных трупов;
— установление причастности личности к ранее совершенным преступлениям;
— объединение преступлений, совершенных одним и тем же лицом.

АДИС Папилон широко применяется в России для автоматизации дактилоскопических учетов, формируемых в рамках выполнения закона «О государственной дактилоскопической регистрации в РФ», в том числе и криминалистических учетов. Все крупнейшие российские автоматизированные банки данных дактилоскопической информации федерального, межрегионального и регионального уровня построены на базе АДИС Папилон. В электронный формат Папилон переведены практически все бумажные дактилоскопические учеты страны. АДИС Папилон использует в качестве средства хранения СУБД Oracle [13]. Эта СУБД обладает следующими:

преимуществами:
1. кластеризации серверов в целях рационального использования ресурсов;
2. рассчитана на работу с огромными объемами данных и обширными коллективами пользователей;
3. обладает возможностями обеспечения высокой готовности, производительности, масштабируемости, безопасности и самоуправляемости;
4. может быть развернута на любой платформе, начиная от небольших серверов и заканчивая крупнейшими симметричными многопроцессорными серверами и многоузловыми кластерами любых размеров.

недостатками:
1. обладает очень высокой стоимостью;
2. является проектом с закрытым исходным кодом, что ограничивает возможности встраивания стороннего программного кода в СУБД;
3. сложность в администрировании СУБД и программировании под нее клиентских приложений, в связи с чем, необходима дорогостоящая подготовка ИТ-специалистов.
4. не обладает специализированными типами данных, позволяющими строить специализированные автоматизированные системы.

BioTime – это современная биометрическая система учета рабочего времени и контроля физического доступа. BioTime интегрирует и эффективно реализует ключевые функции управления персоналом (учет, анализ и контроль использования рабочего времени) и безопасности (разграничение доступа в здания и помещения).
Достоверность отчетов и надежность защиты обеспечивается идентификацией сотрудников по уникальным биометрическим параметрам — отпечаткам пальцев. Регистрация приходов и уходов сотрудников осуществляется по предъявлении идентификаторов автоматически — с оптимальной скоростью и неизменной точностью.
BioTime использует в качестве средства хранения СУБД Microsoft SQL Server [14]. Эта СУБД обладает следующими:

преимуществами:
1. защита ценной информации;
2. облегчение разработки приложений;
3. хранение любой информации: новые типы данных даты и времени, позволяет создавать древовидные структуры, интегрированный полнотекстовый поиск, большие пользовательские типы данных, пространственные типы данных;

недостатками:
1. обладает высокой стоимостью;
2. является проектом с закрытым исходным кодом, что ограничивает возможности встраивания стороннего программного кода в СУБД;
3. устанавливается только под операционные системы (ОС) семейства Windows, что делает невозможным ее использование под управлением других ОС;
4. не обладает специализированными типами данных, позволяющими строить специализированные автоматизированные системы.

Что касается Next Generation Identification, то такое название получила крупнейшая в мире база биометрических данных, над созданием которой работает Федеральное бюро расследований (ФБР) Соединенных Штатов Америки (США), которое запросила $1 млрд. для ее создания. Эта база позволит идентифицировать личность в США и за ее границами [15].
Агентство уже начало компиляцию цифровых изображений лиц, отпечатков пальцев и ладоней. В январе 2008 г. агентство, которое фокусируется в основном на расследовании нарушений законодательства, борьбой со шпионажем и террористической деятельностью, планирует заключить с некоторыми организациями 10-летние контракты для расширения объема биометрической информации, которую планируется внести в базу. Удобство базы смогут оценить, например, работодатели – они смогут проверять судимость человека при приеме на работу, обращаясь в ФБР. В случае успешного применения, база данных будет расширяться и применяться для идентификации личности и в судебно-медицинских целях.

С учетом указанных выше недостатков, для выполнения данной работы была выбрана СУБД PostgreSQL, которая, по крайней мере, лишена таких недостатков, как дороговизна, закрытость исходного кода, использование одного семейства ОС, сложности в администрировании и программировании.
Целью данной работы, помимо повышения быстродействия, является повышение удобства создания автоматизированных систем, так как вся бизнес-логика будет реализована внутри СУБД, что фактически даст возможность использовать PostgreSQL как специализированную СУБД.

♦ Класс отпечатка пальца

Класс отпечатка пальца – это один из многих признаков, по которым отпечатки пальцев можно разделять на группы. Существуют различные системы классификации (группирования) отпечатков пальцев. Традиционной, стала так называемая система классификации Генри [16], согласно которой все отпечатки пальцев можно разделить на 5 классов (см. рис. 7.1): завитушка (Whorl – W), правая петля (Right Loop – R), левая петля (Left Loop – L), дуга (Arch – A), полусфера (Tented Arch – T).

Рисунок 7.1 – Классы отпечатков пальцев: a) – левая петля, b) – правая петля, c) – завитушка, d) – дуга, e) – полусфера

♦ Особые точки

Особые точки – это уникальные для каждого отпечатка признаки, определяющие пункты изменения структуры папиллярных линий (окончание, раздвоение, разрыв и т.д.), ориентацию папиллярных линий и координаты в этих пунктах. Каждый отпечаток содержит до 70 деталей [17].

Особые точки бывают следующих видов:
    – конечная точка (Ending point) – точка, где заканчивается линия гребня;
    – точка ветвления (Bifurcation) – точка расхождения линий гребня;
    – центр (Core) – точка наибольшей кривизны гребня;
    – дельта (Delta) – зона, где гребень разветвляется на три линии, а затем они сходятся в одной точке.

Здесь и далее гребень (Ridge) – возвышающаяся линия отпечатка пальца, а бороздка (Valley) – желобок между гребнями.

На рис. 7.2 представлен отпечаток пальца и его особые точки.

Рисунок 7.2 – Особые точки, найденные на отпечатке пальца

♦ Вектор характеристик особых точек

Вектор характеристик особых точек имеет следующий вид: T = {m₁, m₂, ..., m_m} , где m_i тройственный вектор вида: m = {x, y, θ} , который указывает координаты х и у расположения детали и угол детали θ [18]. Эти вектора были получены ранее (в работах [19] и [20] с помощью многоканального подхода к классификации отпечатков пальцев [21], комбинированного классификатора [22], алгоритма улучшения изображения отпечатка [23] и фильтров Габора [24]) и занесены в БД.

♦ Сравнение контуров образованных особыми точками

Как говорилось ранее, отпечаток пальца содержит особые точки. Причем крайние из них образуют замкнутый многоугольник (или полигон). Полигоны каждого отпечатка пальца уникальны, но в целом их можно разделять на группы. Это группирование в дальнейшем примет участие в построении индекса, который поможет осуществлять более быстрый поиск, за счет уменьшения размеров выборки для окончательного анализа.

Для того чтобы построить многоугольник, содержащий в себе все особые точки, можно воспользоваться алгоритмом QuickHull [25]. Этот алгоритм начинает работу с создания четырехугольника, соединяющего крайние точки. Только точки, лежащие вне этого четырехугольника, могут лежать на разыскиваемом многоугольнике и будут рассматриваться в дальнейшем. Каждый участок, лежащий вне четырехугольника, будет рекурсивно обработан алгоритмом. На рис. 7.3. изображена обработка верхнего правого угла.

Рисунок 7.3 – Графическая схема работы алгоритма QuickHull
(анимация: объем – 27 184 байт; размер – 400х400; состоит из 28 кадров;
задержка между последним и первым кадрами – 2 000 мс;
задержка между кадрами – 1 000 мс; цикл повторения – непрерывный)

На шаге А также находится точка с, наиболее удаленная от линии (a;b). Следующим шагом Б мы определяем два множества точек: справа или на линии (a;c) и справа или на (c;b). Для них шаг А повторяется.

Если на каком-то подуровне рекурсии множество состоит только из двух точек, рекурсия останавливается, возвращая эти две точки как сторону искомого многоугольника. Так продолжается, пока не обработан весь верхний правый угол. Аналогичным способом обрабатываются верхний левый, нижний левый и нижний правый углы, пока не получим полную выпуклую оболочку.

Теперь, когда для каждого отпечатка пальца мы построили многоугольник, ограничивающий особые точки, можно попытаться найти признаки, по которым эти многоугольники можно группировать.

В рамках первого метода сравнения двух многоугольников (построенных из двух отпечатков пальцев) можно найти их пересечение и объединение. Отношение площади пересечения к площади объединения даст некоторый коэффициент отличия площадей многоугольников. И чем сильнее этот коэффициент стремится к нулю, тем больше эти многоугольники похожи друг на друга. Если коэффициент не превышает некоторый заданный порог, то можно считать что эти многоугольники относятся к одной группе, и соответственно отобрать отпечаток пальца для более подробного анализа.

Другим методом может быть метод сравнения формы объектов с использованием морфинга контуров границы [26]. В этом методе предлагается сравнивать контуры, используя следующую механическую модель. Считается, что контуры изготовлены из проволоки. Деформируя проволоку путем растяжения и изгиба, начальный контур преобразуют в конечный. Это преобразование характеризуется механической работой. Предлагается использовать минимальную величину такой работы в качестве меры различия между контурами.

Для определения величины работы трансформации предлагается использовать метод, позволяющий определить значение минимальной работы трансформации для двух замкнутых полигональных контуров [27].

Определим замкнутый полигональный контур как упорядоченную циклическую цепочку вершин C = {c₀, c₁, …, c_N}. Рассмотрим два контура P = {p₀, p₁, …, p_N} и Q = {q₀, q₁, …, q_N}. В каждом из контуров зафиксируем одну из вершин, которую будем называть начальной.

Трансформация задается соответствием вершин исходного контура вершинам конечного контура и моделируется перемещением вершины исходного контура в соответствующую ей вершину конечного. При этом: одной вершине исходного контура можно поставить в соответствие несколько вершин конечного контура и наоборот: нескольким вершинам исходного контура – одну вершину конечного; начальная вершина исходного контура переводится в начальную вершину конечного. Пример такого соответствия вершин для двух контуров приведен на рис.7.4.

Рисунок 7.4 – Соответствие вершин для двух полигональных контуров

Работа трансформации определяется двумя типами преобразований – растяжением (сжатием) и изгибом. Работа растяжения (сжатия) характеризуется изменением расстояния между двумя соседними вершинами контура при трансформации. Работа изгиба характеризуется изменением угла, который образуют три соседние вершины контура.

Минимальной работой по преобразованию контура P с начальной вершиной p₀ в контур Q с начальной вершиной q₀ назовем величину, вычисляемую по формуле (1):

где W(S) – работа, соответствующая трансформации S;
Ω( (P, p⁰), (Q, q⁰) ) – множество допустимых трансформаций контура P с начальной вершиной p⁰ в контур Q с начальной q⁰ вершиной.

Все соответствия между вершинами контуров P и Q можно представить с помощью матрицы размерности (m+2)*(n+2) (с учетом того, что p^m+1 = p⁰, qⁿ⁺¹ = q⁰) или графа (рис. 7.5). Вертикалям в этом случае соответствуют вершины контура P, а горизонталям – вершины Q. Точка на пересечении вертикали i и горизонтали j соответствует паре вершин (pⁱ, q^j).

Рисунок 7.5 – Все соответствия между вершинами контуров P и Q

Трансформацию можно представить в виде пути на этом графе, начинающегося в точке (0,0) и заканчивающегося в точке (m+1, n+1). На рис. 7.6 приведен пример такого представления для трансформации, изображенной на рис. 7.5.

Рисунок 7.6 – Трансформация контура P в Q в виде пути на графе

Таким образом, задача о нахождении минимальной работы по преобразованию контура P с начальной вершиной p⁰ в контур Q с начальной вершиной q⁰ сводится к задаче о поиске кратчайшего пути на графе.

Минимальной работой по преобразованию контура P в контур Q назовем величину, вычисляемую по формуле (2):

Для того чтобы мера различия была нечувствительна к линейным размерам, перед сравнением координаты вершин контура необходимо нормировать. При этом процедура нормирования не должна зависеть от положения контура в пространстве. Предлагается использовать нормирование по радиусу минимального круга, содержащего контур, таким образом, метод становится устойчив к изменению размеров фигур и их расположения.

♦ Сравнение дисперсий распределения особых точек

Еще одним методом сравнения отпечатков пальцев по особым точкам является сравнение дисперсий распределения особых точек вокруг их мнимого центра тяжести. Для вычисления координат центра тяжести воспользуемся следующим методом [28].

Предположим, что масса находится только в вершинах, причем каждая вершина весит одинаково. В этом случае координаты центра тяжести выражаются по формулам (3) и (4):

где, (X_i, Y_i) – координаты i-ой вершины многоугольника;
M_i – масса i-ой вершины;
M – масса всех вершин (M = M₁ + ... + M_N).

Таким образом, для нашего частного случая координаты центра вычисляются по формулам (5) и (6):

Найдем расстояния от центра масс до каждой точки по формуле (7):

Эти расстояния являются значениями случайной величины S, для которой можно вычислить математическое ожидание и дисперсию по формулам (8) и (9) соответственно [29]:

Таким образом, для каждого отпечатка пальца по его особым точкам можно вычислить дисперсию и использовать ее значение при сравнении, группировании и поиске.

Проанализировав приведенные выше методы сравнения отпечатков пальцев, трудно сказать какие у них преимущества и недостатки, поскольку практической реализации этих методов в данной области не производилось. Их эффективность будет определена в дальнейшем, а пока можно сказать, что эти методы отличаются простотой реализации и достаточной точностью.

Предполагается, что в дальнейшем индексирование на основе этих методов или их комбинации даст эффективный прирост при поиске.

В ходе выполнения научно-исследовательской работы были проанализированы существующие компьютерные подсистемы поиска дактилоскопических образов, выявлены их недостатки, и поставлены требования к разрабатываемой системе. Основными из них являются эффективность и гибкость.

Проанализировав возможности выбранной СУБД PostgreSQL, были установлены способ хранения данных (в виде нового типа данных), способы выполнения операций над данными этого типа (подключение функций из программного модуля, перегрузка операторов), способы ускорения поиска (за счет применения эффективного метода индексирования).

Проанализировав данные об особых точках, полученных из отпечатков пальцев, был произведен поиск методов, для выявления их особенных характеристик. К этим методам относятся: метод сравнения площадей многоугольников, содержащих особые точки; метод сравнения контуров этих многоугольников, метод сравнения дисперсий особых точек относительно их центра тяжести. Извлеченные с помощью каждого метода характеристики позволяют построить по ним индексированное поле, использование которого ускорит поиск набора отпечатков пальцев, для окончательного анализа.

1. PostgreSQL: The world's most advanced open source database
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.postgresql.org

2. BioAPI Consortium (Биометрический консорциум)
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.bioapi.org/

3. BioLink: защита информации, учет рабочего времени и контроль доступа средствами идентификации, сканерами отпечатков пальцев, голоса и лица, СКД, СКУД
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.biolink.ru/

4. Bioscrypt – enterprise access control
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: www.l1id.com/enterpriseaccess

5. Precise Biometrics – World-leading provider of Match-on-Card, biometrics for smart cards
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.precisebiometrics.com/

6. Neurotechnology – Fingerprint, face and eye iris identification software, AI and mobile robotics research
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.neurotechnology.com/

7. DigitalPersona Fingerprint Identity Solutions for Identity Protection, Security and Compliance
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.digitalpersona.com/

8. Identix – Protecting and Securing Personal Identities and Assets
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.l1id.com/pages/17

9. Автоматизированная дактилоскопическая информационно-поисковая система АДИС ПАПИЛОН
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.papillon.ru/rus/16/?PHPSESSID=8813bf02f4ee087c82abbad19a824515

10. Система учета рабочего времени и контроля доступа по отпечаткам пальцев BioTime
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.biotime.ru

11. Next Generation Identification (NGI) – Новое поколение идентификации
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.fbi.gov/hq/cjisd/ngi.htm

12. В.Л. Борисов, В.Е. Максимов – СУБД для специализированных систем – Журнал «Мир ПК» №5 – 2007

13. Сайт о СУБД Oracle
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.oracle.com/global/ru/database/index.html

14. Сайт о СУБД Microsoft SQL Server
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.microsoft.com/sqlserver/2008/ru/ru/default.aspx

15. ФБР создаст крупнейшую базу биометрических данных – Статья
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.cnews.ru/news/line/index.shtml?2007/12/24/280912

16. Henry Classification System
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Classification_System

17. Minutiae points – Особые точки
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://en.wikipedia.org/wiki/Minutiae

18. D. Maltoni, D. Maio, A. K. Jain, S. Prabhakar – Handbook of fingerprint recognition – New York – 2003 – 348

19. Петрова Т.В. – Методы и алгоритмы распознавания изображений отпечатков пальцев в биометрических системах
     контроля доступа – Магистерская работа – ДонНТУ – 2008
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://masters.donntu.ru/2008/kita/petrova/index.htm

20. Евстюничева А.В. – Автоматизированная система контроля доступа на основании распознавания отпечатков пальцев
     Магистерская работа – ДонНТУ – 2006
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://masters.donntu.ru/2006/kita/yevstyunicheva/index.htm

21. A. K. Jain, S. Prabhakar, L. Hong – A Multichannel Approach to Fingerprint Classification –
     (Многоканальный подход к классификации отпечатков пальцев) –
     IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 21, No. 4, April 1999
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/iel4/34/16468/00761265.pdf

22. A. Senior – A Combination Fingerprint Classifier –
     (Комбинированный классификатор отпечатков пальцев) –
     IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 23, No. 10, October 2001
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/iel5/34/20643/00954606.pdf?arnumber=954606

23. L. Hong, Y. Wan, A. Jain – Fingerprint Image Enhancement: Algorithm and Performance Evaluation –
     (Улучшение изображений отпечатков пальцев: алгоритм и оценка выполнения) –
     IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 20, No. 8, August 1998
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=709565

24. M. U. Munir, Dr. M. Y. Javed – Fingerprint Matching using Gabor Filters –
     (Сопоставление отпечатков пальцев, основанное на фильтрах Габора) –
     National Conference on Emerging Technologies – 2004
     [Электронный ресурс] – Режим доступа:
     http://www.szabist.edu.pk/ncet2004/docs/session%20vii%20paper%20no%203%20(p147-151).pdf

25. QuickHull – метод построения многоугольника вокруг множества точек
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://algolist.manual.ru/maths/geom/convhull/quickhull.php

26. Рейер И.А. – Сравнения формы объектов с использованием морфинга контуров границы
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.graphicon.ru/2000/2D%20GRAPHICS/Reyer.pdf

27. T.W.Sederberg, E. Greenwood – A physically based approach to 2-D shape blending –
     Computer Graphics, Vol. 26, No. 2, 25-34, 1992
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=134001

28. Егоров П. – Статья «Центр тяжести»
     [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://algolist.manual.ru/maths/geom/polygon/center_mass.php

29. Гмурман В.Е. – Теория вероятностей и математическая статистика – 2003 – 480

При написании данного автореферата магистерская работа еще не завершена. Дата окончательного завершения работы: 1 декабря 2009 г. Полный текст работы и материалы по теме могут быть получены у автора или его научного руководителя после указанной даты.